图乘法是结构力学中，通过结构内力分布和结构本身的刚度，基于材料力学[[虚功|虚功原理]]，在结构的需要求解位移的位置假定单位荷载剪力虚功方程，求解出该点结构由外荷载所产生的位移的一种计算方法。

公式表示：$\delta =\frac{\omega {{y}_{c}}}{EI}$

公式来源

基于材料力学的虚功原理可以得到：

材料上任意截面的位移计算表达式为：$ (\delta \text{=}\int_{\Omega }{\frac{{{F}_{N}}{{{\bar{F}}}_{N}}}{EA}}dL+\int_{\Omega }{\frac{{{F}_{S}}{{{\bar{F}}}_{S}}}{EI}}dL+\int_{\Omega }{\frac{{{M}_{p}}\bar{M}}{EI}}dL) $

其中：$\delta$为结构上待求点的位移大小；

$\Omega$为结构中受外力作用影响下存在内力或位移的结构部分，一般取整个结构；
${{F}_{N}}$为在结构中任取一截面位置，在外荷载的作用下，该截面位置的轴力函数；
${{F}_{S}}$为在结构中任取一截面位置，在外荷载的作用下，该截面位置的剪力函数；
${{M}_{p}}$为在结构中任取一截面位置，在外荷载的作用下，该截面位置的弯矩函数；
$EA,EI$分别为结构中各部分的截面面积和外力作用引起的变形所对应的惯性矩；
$dL$为当前内力荷载函数所影响的结构微元长度；
${{{\bar{F}}}_{N}},{{{\bar{F}}}_{S}},\bar{M}$为所求截面位置施加的单位力在结构中引起的内力函数。
在**实际的结构计算**中，由轴力和剪力所引起的位移往往远小于由弯矩所引起的位移，因此在实际计算中一般忽略轴力和剪力，只计算第三项弯矩的积分。即采用公式：$\delta =\int_{\Omega }{\frac{{{M}_{p}}\bar{M}}{EI}}dL$

图乘简化

在工程上，由于计算积分的过程较为复杂，因此对上面的计算公式进行简化：

若${\bar{M}} $ 图为直线的话，即单位荷载所引起的弯矩函数 $\bar{M}(x)=ax+b$;

则可以简化成${{M}_{p}}$ 图形的面积，乘以其图形形心的位置截面对应的 $\bar{M}(c)=ac+b$的弯矩值，再除以抗弯刚度 $EI$;

导出公式为：
$\delta =\frac{\omega {{y}_{c}}}{EI}$

其中： $\omega$ 为${{M}_{p}}$图形的面积，等于$\int{_{L}{{M}_{p}}}dL$;

${{y}_{c}}$为单位荷载引起的弯矩在形心位置截面的弯矩值，即 $\bar{M}(c)$

原理

虚功原理

原理表述：一个原为静止的质点系，如果约束是理想双面定常约束，则系统继续保持静止的条件是所有作用于该系统的主动力对作用点的虚位移所作的功的和为零。^[2]

虚功原理在结构力学的图乘法的应用，实质上是外荷载对虚位移所做的[[虛功|虚功]]与待求截面上的虚力对该截面的实际位移所做的[[虚功]]相等。在原结构中，已知结构形式和外荷载，之后确定需要计算位移的计算截面。

在该截面上施加一个虚拟的力（可以是矢量力也可以是弯矩）。

这个施加的虚拟力在结构中所引起的内力函数为：${{{\bar{F}}}_{N}},{{{\bar{F}}}_{S}},\bar{M}$；

这些内力引起的截面位移的变化率分别为：$\frac{{{{\bar{F}}}_{N}}}{EA},\frac{{{{\bar{F}}}_{S}}}{EI},\frac{{\bar{M}}}{EI}$；

当前截面处引起的虚位移将外荷载引起的内力函数可以表示为：$\frac{{{{\bar{F}}}_{N}}}{EA}dL,\frac{{{{\bar{F}}}_{S}}}{EI}dL,\frac{{\bar{M}}}{EI}dL$；

后乘以虚位移，然后求和即得到了虚功方程的左侧表达式：$\int_{\Omega }{\frac{{{F}_{N}}{{{\bar{F}}}_{N}}}{EA}}dL+\int_{\Omega }{\frac{{{F}_{S}}{{{\bar{F}}}_{S}}}{EI}}dL+\int_{\Omega }{\frac{{{M}_{p}}\bar{M}}{EI}}dL$；

假设该截面的实际位移为$\delta$

假设的虚拟力为$\overline{P}$ ，则虚拟力做的虚功为：$\overline{P}\delta$；

根据虚功原理，左右两边划等号，即可等到虚功平衡方程。

单位荷载法^[1]

单位荷载法：是一种将假定的荷载设置等于单位力的力学求解方法。

将虚拟力等于单位力代入虚功原理中得到的平衡方程中，等式的右边只剩下了位移$\delta$。而将单位力代入结构后，求解单位力所引起的内力的计算过程也能得到大量简化。最后得到的位移计算公式为：$\delta =\int_{\Omega }{\frac{{{M}_{p}}\bar{M}}{EI}}dL$

图乘法

在工程上采用积分的方法来校核和设计材料的唯一标准太过复杂，因此需要将积分简化成一般计算。这里将数学表达式几何化，将位移求解公式进行几何表述，即得到了图形相乘的结果，导出了图乘公式。

若施加单位荷载后的结构产生的内力是按照线性变化，即$\bar{M}(x),{{F}_{N}},{{F}_{S}}$均可用$y=ax+b$的形式表示，

则对于表达式$\delta =\int_{\Omega }{\frac{{{M}_{p}}\bar{M}}{EI}}dL$来说，$\frac{1}{EI}$为常数，可以提出积分式；

得到：$\delta =\frac{\int_{\Omega }{{{M}_{p}}\bar{M}}dL}{EI}$；

提取分子：

$\int_{\Omega }{{{M}_{p}}\bar{M}}dL=\int_{\Omega }{{{M}_{p}}(ax+b)}dL=a\int_{\Omega }{{{M}_{p}}x}dL+b\int_{\Omega }{{{M}_{p}}}dL$

该表达式为长度为${{M}_{p}}$宽度为$dL$的面积，对于轴距为$\bar{M}$的轴的[[面积矩|面积矩（静矩）]]

根据面积矩的特性：图形对某一轴的矩，等于图形的形心到轴的距离乘以图形面积；

因此该积分可以简化为 ${{M}_{p}}$ 图形的面积，乘以${{M}_{p}}$图形的形心位置所对应的 $\bar{M} $

即导出$\delta =\frac{\omega {{y}_{c}}}{EI}$

参考资料

1. 百度百科-单位荷载法 ↩
2. 百度百科-虚功原理 ↩